Matemática discreta Ejemplos

$x^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{3 x})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}} - 18 = 0$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 1.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{2 \cdot 4}} - 18 = 0$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{\frac{1}{2}} + {(3 x)}^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Paso 2

Obtén un factor común $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}$ que esté presente en cada término.

${(x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18$

Paso 3

Sustituye $u$ por $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}$ .

${(x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4

Resuelve $u$

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x^{\frac{1 + 1}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.2

Suma $1$ y $1$ .

${(x^{\frac{2}{8}})}^{2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{8}})}^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{8} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x^{\frac{2}{2 (4)} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2}{2 \cdot 4} \cdot 2} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{2}{4}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.1.3.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x^{\frac{2 (1)}{4}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{1 + 1}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} {({(3 x)}^{\frac{2}{8}})}^{\frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.6

Multiplica los exponentes en ${({(3 x)}^{\frac{2}{8}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.6.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.6.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{2}{8} \cdot \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.6.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{2}} {(3 x)}^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Paso 4.1.7

Aplica la regla del producto a $3 x$ .

$x^{\frac{1}{2}} (3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8}}) - 18 = 0$

Paso 4.1.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{8}} - 18 = 0$

Paso 4.1.9

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{8}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.9.1

Mueve $x^{\frac{1}{8}}$ .

$3^{\frac{1}{8}} (x^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{2}}) - 18 = 0$

Paso 4.1.9.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{2}} - 18 = 0$

Paso 4.1.9.3

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}} - 18 = 0$

Paso 4.1.9.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.9.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4}} - 18 = 0$

Paso 4.1.9.4.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1}{8} + \frac{4}{8}} - 18 = 0$

Paso 4.1.9.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{1 + 4}{8}} - 18 = 0$

Paso 4.1.9.6

Suma $1$ y $4$ .

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}} - 18 = 0$

Paso 4.2

Suma $18$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}} = 18$

Paso 4.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{8}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1

Simplifica ${(3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Paso 4.4.1.1

Aplica la regla del producto a $3^{\frac{1}{8}} x^{\frac{5}{8}}$ .

${(3^{\frac{1}{8}})}^{\frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica los exponentes en ${(3^{\frac{1}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Paso 4.4.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.2.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$3^{\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$3^{\frac{1}{5}} {(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{8}})}^{\frac{8}{5}}$ .

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Paso 4.4.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.4.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{5}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.3.3

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 4.4.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$3^{\frac{1}{5}} x^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$3^{\frac{1}{5}} x^{1} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.4

Simplifica.

$3^{\frac{1}{5}} x = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.4.1.5

Reordena los factores en $3^{\frac{1}{5}} x$ .

$x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$

Paso 4.5

Divide cada término en $x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$ por $3^{\frac{1}{5}}$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $x \cdot 3^{\frac{1}{5}} = 18^{\frac{8}{5}}$ por $3^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{x \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}} = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 3^{\frac{1}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}} = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Paso 4.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{18^{\frac{8}{5}}}{3^{\frac{1}{5}}}$

Paso 5

Excluye las soluciones que no hagan que $x^{\frac{1}{2}} + {(\sqrt{3 x})}^{\frac{1}{4}} - 18 = 0$ sea verdadera.

$No hay solución$